微分積分例

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 4

$u = - \frac{x}{3}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{3} d x$ すると、 $- 3 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - \frac{x}{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{x}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 4.2

$u = - \frac{x}{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = - \frac{x}{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

$6$ を $3$ で割ります。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

ステップ 4.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = - 2$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 5.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 5.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 6

$- 3$ は $u$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 7

$- 3$ に $5$ をかけます。

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 8

$2^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ です。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$- 2$ および $0$ で $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ の値を求めます。

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

ステップ 12.2

$6$ および $0$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.3

$\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ を積として書き換えます。

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{\ln (2)}$ をかけます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.6

$6$ を $2$ 乗します。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.7

$\frac{1}{2}$ と $36$ をまとめます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.8

$36$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.8.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.8.2.3

式を書き換えます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.8.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

ステップ 12.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

ステップ 12.3.10

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

ステップ 12.3.11

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

ステップ 12.3.12

$18$ と $0$ をたし算します。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

ステップ 12.3.13

$18$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

ステップ 12.3.14

$- 18$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

ステップ 12.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

ステップ 13

各項を簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

ステップ 13.2

$- 15$ と $\frac{1}{4 \ln (2)}$ をまとめます。

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

ステップ 13.3

$- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ を掛けます。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $- 15$ をかけます。

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

ステップ 13.3.2

$15$ と $\frac{1}{\ln (2)}$ をまとめます。

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

ステップ 13.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

10進法形式：

$12.63031921 \dots$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例