微分積分例

$y = x^{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x^{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{x^{\frac{1}{2}}}$ を $e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}]$

ステップ 4.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}]$

ステップ 4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

ステップ 4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

ステップ 4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.5.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.6

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.6.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.6.3

公分母の分子をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.6.4

$2$ から $1$ を引きます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 4.10

公分母の分子をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 4.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 4.14

$\ln (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 4.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.1

分配則を当てはめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.2.1

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.16.2.2

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ と $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例