微分積分例

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

ステップ 1

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{6}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.2.3

$6$ に $5$ をかけます。

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{4}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

ステップ 2.5.2

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ と $0$ をたし算します。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

ステップ 3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 0.74790241$

ステップ 4

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

ステップ 5

一次導関数 $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ の区間 $(- \infty, - 0.74790241)$ から $- 3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $5$ 乗します。

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

ステップ 5.2.1.2

$30$ に $- 243$ をかけます。

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

ステップ 5.2.1.4

$- 12$ に $- 27$ をかけます。

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 7290$ と $324$ をたし算します。

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

ステップ 5.2.2.2

$- 6966$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 3) = - 6964$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6964$ です。

$- 6964$

ステップ 6

一次導関数 $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ の区間 $(- 0.74790241, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

ステップ 6.2.1.2

$30$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

ステップ 6.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

ステップ 6.2.1.4

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

ステップ 6.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 + 2$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f' (0) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 7

$x = - 0.74790241$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 0.74790241$ でグラフの山または谷の点があります。

ステップ 8

$- 0.74790241$ のy座標を求め、グラフの山または谷の点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$f (- 0.74790241)$ を求め $- 0.74790241$ のy座標を導きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

式の変数 $x$ を $- 0.74790241$ で置換えます。

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

ステップ 8.1.2

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

括弧を削除します。

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

ステップ 8.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.2.1

$- 0.74790241$ を $6$ 乗します。

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

ステップ 8.1.2.2.2

$5$ に $0.17501272$ をかけます。

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

ステップ 8.1.2.2.3

$- 0.74790241$ を $4$ 乗します。

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

ステップ 8.1.2.2.4

$- 3$ に $0.31288139$ をかけます。

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

ステップ 8.1.2.2.5

$2$ に $- 0.74790241$ をかけます。

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

ステップ 8.1.2.3

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.3.1

$0.8750636$ から $0.93864419$ を引きます。

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

ステップ 8.1.2.3.2

$- 0.06358059$ から $1.49580483$ を引きます。

$- 1.55938542 - 9$

ステップ 8.1.2.3.3

$- 1.55938542$ から $9$ を引きます。

$- 10.55938542$

ステップ 8.2

$x$ 座標と $y$ 座標を点の形で書きます。

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例