微分積分例

$y = \cot^{2} (\cos (θ))$

ステップ 1

$f (θ) = θ^{2}$ および $g (θ) = \cot (\cos (θ))$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (\cos (θ))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (\cos (θ))$ で置き換えます。

$2 \cot (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

ステップ 2

$f (θ) = \cot (θ)$ および $g (θ) = \cos (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (θ)$ とします。

$2 \cot (\cos (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (θ)$ で置き換えます。

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cot (\cos (θ)) (\csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 4

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$- 2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) (- \sin (θ))$

ステップ 5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$ の因数を並べ替えます。

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

ステップ 6.2

正弦と余弦に関して $\csc (\cos (θ))$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (θ))})}^{2} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

ステップ 6.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

ステップ 6.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

ステップ 6.5

$2$ と $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

ステップ 6.6

正弦と余弦に関して $\cot (\cos (θ))$ を書き換えます。

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

ステップ 6.7

まとめる。

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

ステップ 6.8

指数を足して $\sin^{2} (\cos (θ))$ に $\sin (\cos (θ))$ を掛けます。

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ステップ 6.8.1

$\sin^{2} (\cos (θ))$ に $\sin (\cos (θ))$ をかけます。

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ステップ 6.8.1.1

$\sin (\cos (θ))$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin^{1} (\cos (θ))} \sin (θ)$

ステップ 6.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{{\sin (\cos (θ))}^{2 + 1}} \sin (θ)$

ステップ 6.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))} \sin (θ)$

ステップ 6.9

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))}$ と $\sin (θ)$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin^{3} (\cos (θ))}$

ステップ 6.10

$\sin (\cos (θ))$ を $\sin^{3} (\cos (θ))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin^{2} (\cos (θ))}$

ステップ 6.11

分数を分解します。

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$

ステップ 6.12

$\frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$ を $\cot (\cos (θ))$ に変換します。

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.13

$\sin (\cos (θ))$ を $\sin^{2} (\cos (θ))$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.14

分数を分解します。

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.15

$\frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))}$ を積として書き換えます。

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.16

$\sin (θ)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.17

簡約します。

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ステップ 6.17.1

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.17.2

$\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ を $\csc (\cos (θ))$ に変換します。

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.18

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.19

$\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ を $\csc (\cos (θ))$ に変換します。

$\frac{2}{1} \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.20

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.21

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ)))$ を掛けます。

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ステップ 6.21.1

$\csc (\cos (θ))$ を $1$ 乗します。

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.21.2

$\csc (\cos (θ))$ を $1$ 乗します。

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc^{1} (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.21.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\csc (\cos (θ))}^{1 + 1} \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

ステップ 6.21.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

微分積分 例

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