微分積分例

$x^{y} = y^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f = x$ および $g = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

ステップ 2.4.2

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f = y$ および $g = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

ステップ 3.4

$y^{x}$ に $1$ をかけます。

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

項を並べ替えます。

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

ステップ 3.5.2

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ の因数を並べ替えます。

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

ステップ 5.2

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ の因数を並べ替えます。

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

ステップ 5.3

$- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ の因数を並べ替えます。

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

ステップ 5.4

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ の因数を並べ替えます。

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

ステップ 5.5

方程式の両辺から $x y' y^{x - 1}$ を引きます。

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

ステップ 5.6

方程式の両辺に $\ln (y) y^{x}$ を足します。

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

ステップ 5.7

$y'$ を $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$y'$ を $y' \ln (x) x^{y}$ で因数分解します。

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

ステップ 5.7.2

$y'$ を $- x y' y^{x - 1}$ で因数分解します。

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

ステップ 5.7.3

$y'$ を $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ で因数分解します。

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

ステップ 5.8

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ の各項を $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ の各項を $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ で割ります。

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1

$\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.3.2

$- 1$ を $- y x^{y - 1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.3.3

$- 1$ を $\ln (y) y^{x}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.3.4

$- 1$ を $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.5.1

$- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ を $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 5.8.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

微分積分 例

微分積分例