微分積分例

$y = x^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

ステップ 3.1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 3.5.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 3.6.2

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 3.6.3

項を並べ替えます。

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

微分積分 例

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