微分積分例

$y = e^{- x} \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} \sin (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.4.3

式を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

ステップ 3.4.3.4

項を並べ替えます。

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例