微分積分例

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

ステップ 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

ステップ 1.2.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

$1$ 各数値の素因数を記入してください。

ステップ 1.2.1.4

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2 + y = 0$

ステップ 1.2.1.5

$8$ の素因数は $2 \cdot 2 \cdot 2$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.5.1

$8$ には $2$ と $4$ の因数があります。

$2 \cdot 4$

ステップ 1.2.1.5.2

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

ステップ 1.2.1.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

Not $p r i m e + y = 0$

ステップ 1.2.1.7

$4, 8, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

ステップ 1.2.1.8

$2 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot 2 + y = 0$

ステップ 1.2.1.8.2

$4$ に $2$ をかけます。

$8 + y = 0$

ステップ 1.2.1.9

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

ステップ 1.2.1.10

$x^{2}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x + y = 0$

ステップ 1.2.1.11

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + y = 0$

ステップ 1.2.1.12

$4, 8 x^{2}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $8$ に変数部分を掛けたものです。

$8 x^{2} + y = 0$

ステップ 1.2.2

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ の各項に $8 x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ の各項に $8 x^{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.3

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.3.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.5.1

$8$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.5.3

式を書き換えます。

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2.1.6.2

式を書き換えます。

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0 (8 x^{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.1.1

$8$ に $0$ をかけます。

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.1.2

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$2 x^{6} + 1 = 0$

ステップ 1.2.3

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x^{6} = - 1$

ステップ 1.2.3.2

$2 x^{6} = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2 x^{6} = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2

$x^{6}$ を $1$ で割ります。

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.4

$\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.3.4.1.1

$- 1$ を $i^{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.4.1.2

$1$ を $1^{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

ステップ 1.2.3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

ステップ 1.2.3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.4.4

$\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 1.2.3.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 1.2.3.4.6

$i$ と $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 1.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 1.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 1.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 1.3

$\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

ステップ 3

積分し、 $1$ と $4$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

ステップ 3.2

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ から $0$ を引きます。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

ステップ 3.5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

ステップ 3.6

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.7.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.7.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

ステップ 3.8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

ステップ 3.9

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1

$4$ および $1$ で $\frac{1}{5} x^{5}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

ステップ 3.9.2

$4$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3

簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

$4$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.2

$\frac{1}{5}$ と $1024$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.6

$1024$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.7

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1023}{5}$ をかけます。

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.8

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

ステップ 3.9.3.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

ステップ 3.9.3.11

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

ステップ 3.9.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

ステップ 3.9.3.13

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

ステップ 3.9.3.14

$\frac{1}{8}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

ステップ 3.9.3.15

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

ステップ 3.9.3.16

$\frac{1023}{20}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

ステップ 3.9.3.17

$\frac{3}{32}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.9.3.18

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $160$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.9.3.18.1

$\frac{1023}{20}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.9.3.18.2

$20$ に $8$ をかけます。

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.9.3.18.3

$\frac{3}{32}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

ステップ 3.9.3.18.4

$32$ に $5$ をかけます。

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

ステップ 3.9.3.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

ステップ 3.9.3.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.20.1

$1023$ に $8$ をかけます。

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

ステップ 3.9.3.20.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{8184 + 15}{160}$

ステップ 3.9.3.20.3

$8184$ と $15$ をたし算します。

$\frac{8199}{160}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例