微分積分例

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 1.3

$\sqrt{3}$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

ステップ 3

積分し、 $0$ と $\sqrt{3}$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

ステップ 3.2

$0$ から $x^{2} - 3$ を引きます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

ステップ 3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

ステップ 3.6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

ステップ 3.7

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

ステップ 3.8

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

ステップ 3.9

答えを簡約します。

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ステップ 3.9.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1.1

$\sqrt{3}$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

ステップ 3.9.1.2

$\sqrt{3}$ および $0$ で $3 x$ の値を求めます。

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3

簡約します。

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ステップ 3.9.1.3.1

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.4

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.3.4.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.3.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.4.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.6

$\frac{\sqrt{27}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

ステップ 3.9.1.3.7

$- 3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

ステップ 3.9.1.3.8

$3 \sqrt{3}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.2

簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.2.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.2.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.2.4

$- \sqrt{3}$ と $3 \sqrt{3}$ をたし算します。

$2 \sqrt{3}$

ステップ 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

ステップ 5

積分し、 $\sqrt{3}$ と $6$ の間の面積を求めます。

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ステップ 5.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

ステップ 5.2

$x^{2} - 3$ から $0$ を引きます。

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

ステップ 5.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

ステップ 5.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

ステップ 5.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

ステップ 5.6

答えを簡約します。

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ステップ 5.6.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ と $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

ステップ 5.6.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$6$ および $\sqrt{3}$ で $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.2.1

$6$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $216$ をまとめます。

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.3

$216$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.2.3.1

$3$ を $216$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.3.2.4

$72$ を $1$ で割ります。

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.4

$- 3$ に $6$ をかけます。

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.5

$72$ から $18$ を引きます。

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.6

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.7

$3$ を $3$ 乗します。

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.2.2.8

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{27}$ をまとめます。

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.3.1

共通因数を約分します。

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3.4

$\sqrt{3}$ から $3 \sqrt{3}$ を引きます。

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

ステップ 5.6.3.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$54 + 2 \sqrt{3}$

ステップ 6

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$54 + 4 \sqrt{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$54 + 4 \sqrt{3}$

10進法形式：

$60.92820323 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例