微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 1.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 1.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 1.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$x^{2}$ を $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1.1

$x^{2}$ を $e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 1.5.3.1.2

$x^{2}$ を $- 3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 1.5.3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 1.5.3.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - 3 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 1.5.3.2.2

$e^{x}$ を $- 3 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

ステップ 1.5.3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

ステップ 1.5.4

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$x^{2}$ を $x^{2} e^{x} (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

ステップ 1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = e^{x} (x - 3)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 2.2

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.4.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.4.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

ステップ 2.6

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.2.2

$x^{3}$ を $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$x^{3}$ を $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.2.2.2

$x^{3}$ を $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

ステップ 2.6.2.2.3

$x^{3}$ を $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x^{3}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

ステップ 2.8.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

ステップ 2.8.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x \cdot x e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4.1.3

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4.2

$x e^{x}$ から $3 x e^{x}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4.3

$- 2 x e^{x}$ から $4 e^{x} x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} - 4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.4.3.2

$- 2 x e^{x}$ から $4 x e^{x}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.5

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{- 6 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.6

$- 1$ を $- 6 e^{x} x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.7

$- 1$ を $e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.8

$- 1$ を $- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.9

$- 1$ を $12 e^{x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})}{x^{5}}$

ステップ 2.8.10

$- 1$ を $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

ステップ 2.8.11

$- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ を $- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

ステップ 2.8.12

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 2.8.13

$- \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{6 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 4.1.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1

$x^{2}$ を $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1.1

$x^{2}$ を $e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.3.1.2

$x^{2}$ を $- 3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.3.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - 3 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.3.2.2

$e^{x}$ を $- 3 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.4

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.4.1

$x^{2}$ を $x^{2} e^{x} (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

ステップ 4.1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.4.2.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 4.1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 4.1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ です。

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$e^{x} (x - 3) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 5.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.3.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.3.4

最終解は $e^{x} (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{4} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{6 (3) e^{3} - {(3)}^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{{(3)}^{5}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$6$ に $3$ をかけます。

$- \frac{18 e^{3} - 3^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

ステップ 9.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{18 e^{3} - 1 \cdot 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- \frac{18 e^{3} - 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

ステップ 9.1.4

$18 e^{3}$ から $9 e^{3}$ を引きます。

$- \frac{9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

ステップ 9.1.5

$9 e^{3}$ から $12 e^{3}$ を引きます。

$- \frac{- 3 e^{3}}{3^{5}}$

ステップ 9.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.2.1

$3$ を $5$ 乗します。

$- \frac{- 3 e^{3}}{243}$

ステップ 9.2.2

$- 3$ と $243$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$3$ を $- 3 e^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- e^{3})}{243}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$3$ を $243$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 (81)}$

ステップ 9.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 \cdot 81}$

ステップ 9.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{- e^{3}}{81}$

ステップ 9.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{e^{3}}{81}$

ステップ 9.3

$- - \frac{e^{3}}{81}$ を掛けます。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{e^{3}}{81}$

ステップ 9.3.2

$\frac{e^{3}}{81}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3}}{81}$

ステップ 10

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11

$x = 3$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{e^{3}}{{(3)}^{3}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = \frac{e^{3}}{27}$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $\frac{e^{3}}{27}$ です。

$y = \frac{e^{3}}{27}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$ の極値です。

$(3, \frac{e^{3}}{27})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例