微分積分例

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

簡約します。

$1 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 - x^{2} = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 1.2.3.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 1.3

$1$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

ステップ 2

$\sqrt{1 - x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

ステップ 4

積分し、 $- 1$ と $1$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

ステップ 4.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ から $0$ を引きます。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.3

平方を完成させます。

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ステップ 4.3.1

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

ステップ 4.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

ステップ 4.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 4.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 4.3.1.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 4.3.1.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$1 - x + x + x (- x)$

ステップ 4.3.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - x + x - x \cdot x$

ステップ 4.3.1.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$1 - x + x - (x \cdot x)$

ステップ 4.3.1.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 - x + x - x^{2}$

ステップ 4.3.1.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$1 + 0 - x^{2}$

ステップ 4.3.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - x^{2}$

ステップ 4.3.1.3

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 1$

ステップ 4.3.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

ステップ 4.3.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

ステップ 4.3.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ を $- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

ステップ 4.3.4.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 4.3.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

ステップ 4.3.5.2.1.3

$0$ を $- 4$ で割ります。

$e = 1 - 0$

ステップ 4.3.5.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 1 + 0$

ステップ 4.3.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e = 1$

ステップ 4.3.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 0)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

ステップ 4.4

$u_{1} = x + 0$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.4.1

$u_{1} = x + 0$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.4.1.1

$x + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

ステップ 4.4.1.2

総和則では、 $x + 0$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

ステップ 4.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

ステップ 4.4.1.4

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.4.2

$u_{1} = x + 0$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 1 + 0$

ステップ 4.4.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 4.4.4

$u_{1} = x + 0$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 0$

ステップ 4.4.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.4.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

ステップ 4.5

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

ステップ 4.6

項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

$- \sin^{2} (t)$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 4.6.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 4.6.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 4.6.2

簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

ステップ 4.6.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

ステップ 4.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 4.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4.7

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 4.9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 4.10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 4.11

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.11.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 4.11.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.11.2

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

ステップ 4.11.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.3.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 4.11.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 4.11.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = - π$

ステップ 4.11.4

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 4.11.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 4.11.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 4.11.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

ステップ 4.11.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 4.12

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 4.14

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

ステップ 4.15

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.1

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $t$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

ステップ 4.15.2

$π$ および $- π$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 4.15.3

簡約します。

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ステップ 4.15.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 4.15.3.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 4.15.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

ステップ 4.15.3.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

ステップ 4.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

ステップ 4.16.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

ステップ 4.16.1.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

ステップ 4.16.1.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

ステップ 4.16.1.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

ステップ 4.16.1.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

ステップ 4.16.1.3

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (π + 0)$

ステップ 4.16.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} π$

ステップ 4.16.3

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例