微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{1} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

指数を求めます。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $4^{x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.5

$4^{x} \ln (4)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + 0}$

ステップ 3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x}$

ステップ 4

$\frac{\ln (4)}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\ln (4)}{2} lim_{x \to 1} \frac{4^{x}}{x}$

ステップ 5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 4^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 7

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 7.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{1}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

まとめる。

$\frac{\ln (4) \cdot 4^{1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

指数を求めます。

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2}$

ステップ 8.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

$2$ を $\ln (4) \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2}$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 (1)}$

ステップ 8.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (4) \cdot 2}{1}$

ステップ 8.4.2.4

$\ln (4) \cdot 2$ を $1$ で割ります。

$\ln (4) \cdot 2$

ステップ 8.5

$2$ を $\ln (4)$ の左に移動させます。

$2 \ln (4)$

微分積分 例

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