微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

ステップ 1.3.1.2

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

ステップ 3.5

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

ステップ 3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

ステップ 3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

ステップ 3.7

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \cdot 1)}$

ステップ 3.9

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \cdot 6}$

ステップ 3.10

$6$ を $\cos (6 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cdot \cos (6 x)}$

ステップ 3.11

$6$ に $\cos (6 x)$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cos (6 x)}$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x)}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

ステップ 7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

ステップ 8

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 \cdot 0)}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

まとめる。

$\frac{1 e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

ステップ 10.2

$e^{0}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

ステップ 10.3

分母を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{e^{0}}{6 \cos (0)}$

ステップ 10.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{e^{0}}{6 \cdot 1}$

ステップ 10.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{6 \cdot 1}$

ステップ 10.5

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

微分積分 例

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