微分積分例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

ステップ 2.2.2

$8 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

ステップ 3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2

$8$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.5

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

ステップ 9.2

答えを簡約します。

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ステップ 9.2.1

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

ステップ 9.2.2.2

$1 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

ステップ 9.2.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8}{\sqrt{1} + 1}$

ステップ 9.2.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{8}{1 + 1}$

ステップ 9.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8}{2}$

ステップ 9.2.3

$8$ を $2$ で割ります。

$4$

微分積分 例

微分積分例