微分積分例

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$n = \frac{4}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}$

ステップ 1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

ステップ 1.3

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}$

ステップ 1.5.2

$4$ から $5$ を引きます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}$

ステップ 1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 1.7.2

$\frac{4}{5}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ です。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ を ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

ステップ 2.3

$n = - \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{6}{5}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

ステップ 2.10

$\frac{4}{5}$ に $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ をかけます。

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

ステップ 2.11

掛け算します。

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ステップ 2.11.1

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

ステップ 2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{6}{5}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ です。

$- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

微分積分 例

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