微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x} (x - 1)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.6.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$x$ を $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2.2

$x$ を $- 2 e^{x} (x - 1) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2.3

$x$ を $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 2.8

簡約します。

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ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 2.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 2.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.4.1

$x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1.1

$x e^{x}$ と $x (- 1 e^{x})$ について因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.1.2

$e^{x} x$ から $e^{x} x$ を引きます。

$\frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.1.3

$x (x e^{x})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.2.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.3

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 2.8.5

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 2.8.6

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$ です。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

微分積分 例

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