微分積分例

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$0$ から $- 3$ を引きます。

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 2.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 x^{- 3}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 6 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 6$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{x^{3}}$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{3}}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{6}{x^{3}}$ です。

$- \frac{6}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例