微分積分例

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

$\frac{6}{x^{2} - 16}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6}{x^{2} - 16}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ です。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 16}$ を ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 16$ とします。

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

ステップ 2.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

ステップ 2.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 16$ で置き換えます。

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

ステップ 2.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

ステップ 2.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

ステップ 2.1.3.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 2.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 2.1.3.5.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

ステップ 2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

ステップ 2.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$- 12$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

ステップ 2.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

ステップ 2.1.5.3

$x$ と $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.5.4

$12$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ です。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$12 x = 0$

ステップ 3.3

$12 x = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$12 x = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{12}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ を $12$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.3

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.3.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.2.3.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5.2.4

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.2.4.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.2.5

最終解は ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 5.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 4, x = 4$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$12$ に $- 5$ をかけます。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$25$ から $16$ を引きます。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

ステップ 7.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$- 60$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

$3$ を $- 60$ で因数分解します。

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

ステップ 7.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.2.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

ステップ 7.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

ステップ 7.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

ステップ 7.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{20}{27}$ です。

$\frac{20}{27}$

ステップ 7.3

$x = - 5$ で微分係数は $\frac{20}{27}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 8

区間 $(- 4, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$12$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$4$ から $16$ を引きます。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$- 12$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

ステップ 8.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$- 24$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.1

$24$ を $- 24$ で因数分解します。

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

ステップ 8.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.2.1

$24$ を $144$ で因数分解します。

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

ステップ 8.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

ステップ 8.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

ステップ 8.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{6}$ です。

$\frac{1}{6}$

ステップ 8.3

$x = - 2$ で微分係数は $\frac{1}{6}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 4, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 4, 0)$ で増加

ステップ 9

区間 $(0, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$12$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.2

$4$ から $16$ を引きます。

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.3

$- 12$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

ステップ 9.2.3

$24$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$24$ を $24$ で因数分解します。

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

ステップ 9.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.2.1

$24$ を $144$ で因数分解します。

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

ステップ 9.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

ステップ 9.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{6}$ です。

$- \frac{1}{6}$

ステップ 9.3

$x = 2$ で微分係数は $- \frac{1}{6}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 4)$ で減少

ステップ 10

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$12$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

ステップ 10.2.2.2

$25$ から $16$ を引きます。

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

ステップ 10.2.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

ステップ 10.2.3

$60$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

$3$ を $60$ で因数分解します。

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

ステップ 10.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.2.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $- \frac{20}{27}$ です。

$- \frac{20}{27}$

ステップ 10.3

$x = 5$ で微分係数は $- \frac{20}{27}$ です。これは負の値なので、関数は $(4, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 4), (- 4, 0)$ で増加

$(0, 4), (4, \infty)$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例