微分積分例

$(2 - 2 x) e^{x}$

ステップ 1

$(2 - 2 x) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = 2 - 2 x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

総和則では、 $2 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.1.3.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

ステップ 2.1.3.6.2

$- 2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 2.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2 e^{x}$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$- 2 x e^{x} + 0$

ステップ 2.1.4.2.2

$- 2 x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x e^{x}$

ステップ 2.1.4.3

$- 2 x e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{x} x$

ステップ 2.1.4.4

$- 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x e^{x}$ です。

$- 2 x e^{x}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x e^{x} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

最終解は $- 2 x e^{x} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - 2 x e^{x}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 6.2.3

$2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{e}$ です。

$\frac{2}{e}$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $\frac{2}{e}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - 2 e$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $- 2 e$ です。

$- 2 e$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $- 2 e$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0)$ で増加

$(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例