微分積分例

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

ステップ 1

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ を関数で書きます。

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x - 9$ および $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 18 x - 162$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ です。

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.3

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.5

$- 18$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.6

$- 162$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 162$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.7

$2 x - 18$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

ステップ 2.1.2.8

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

ステップ 2.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

ステップ 2.1.2.10

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

ステップ 2.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

ステップ 2.1.2.11.2

$x^{2} - 18 x - 162$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.5

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.6

$- 18$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.7

$- 9$ に $- 18$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.8

$- 18 x$ から $18 x$ を引きます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

ステップ 2.1.3.4.10

$- 36 x$ から $18 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

ステップ 2.1.3.4.11

$162$ から $162$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

ステップ 2.1.3.4.12

$3 x^{2} - 54 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 54 x$ です。

$3 x^{2} - 54 x$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 54 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 54 x = 0$

ステップ 3.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 54 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 54 x = 0$

ステップ 3.2.2

$3 x$ を $- 54 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

ステップ 3.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 18)$ で因数分解します。

$3 x (x - 18) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 18 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x - 18$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x - 18$ が $0$ に等しいとします。

$x - 18 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $18$ を足します。

$x = 18$

ステップ 3.6

最終解は $3 x (x - 18) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 18$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 18$ です。

$0, 18$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.3

$- 54$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 3 + 54$

ステップ 6.2.2

$3$ と $54$ をたし算します。

$f' (- 1) = 57$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $57$ です。

$57$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $57$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 18)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $81$ をかけます。

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.3

$- 54$ に $9$ をかけます。

$f' (9) = 243 - 486$

ステップ 7.2.2

$243$ から $486$ を引きます。

$f' (9) = - 243$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 243$ です。

$- 243$

ステップ 7.3

$x = 9$ で微分係数は $- 243$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 18)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 18)$ で減少

ステップ 8

区間 $(18, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $19$ で置換えます。

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$19$ を $2$ 乗します。

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

ステップ 8.2.1.2

$3$ に $361$ をかけます。

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

ステップ 8.2.1.3

$- 54$ に $19$ をかけます。

$f' (19) = 1083 - 1026$

ステップ 8.2.2

$1083$ から $1026$ を引きます。

$f' (19) = 57$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $57$ です。

$57$

ステップ 8.3

$x = 19$ で微分係数は $57$ です。これは正の値なので、関数は $(18, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(18, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (18, \infty)$ で増加

$(0, 18)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例