微分積分例

$\frac{x - 3}{x + 4}$

ステップ 1

$\frac{x - 3}{x + 4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x + 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.2.1

$x + 4 - x - - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ です。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$7 = 0$

ステップ 3.3

$7 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6

微分係数 $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

ステップ 7.2.2

$7$ を $1$ で割ります。

$f' (- 5) = 7$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$7$

ステップ 7.3

$x = - 5$ で微分係数は $7$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 8

区間 $(- 4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

ステップ 8.2.2

$7$ を $1$ で割ります。

$f' (- 3) = 7$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$7$

ステップ 8.3

$x = - 3$ で微分係数は $7$ です。これは正の値なので、関数は $(- 4, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 4, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$ で増加

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例