微分積分例

$x + \frac{10}{x}$

ステップ 1

$x + \frac{10}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x + \frac{10}{x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{10}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{10}{x})$

ステップ 2.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{10}{x})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{10}{x}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 1 + 10 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 1 + 10 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 2.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + 10 (- x^{- 2})$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ に $10$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 10 x^{- 2}$

ステップ 2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 1 - 10 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

項をまとめます。

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ステップ 2.1.4.1.1

$- 10$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + \frac{- 10}{x^{2}}$

ステップ 2.1.4.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 - \frac{10}{x^{2}}$

ステップ 2.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{10}{x^{2}} + 1$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{10}{x^{2}} + 1$ です。

$- \frac{10}{x^{2}} + 1$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{10}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{10}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{10}{x^{2}} = - 1$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 3.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 3.4

$- \frac{10}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.1

$- \frac{10}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{10}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- \frac{10}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 10}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 10}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 10 = - x^{2}$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $- x^{2} = - 10$ として書き換えます。

$- x^{2} = - 10$

ステップ 3.5.2

$- x^{2} = - 10$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- x^{2} = - 10$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 10$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 10$

ステップ 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{10}$

ステップ 3.5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{10}$

ステップ 3.5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{10}$

ステップ 3.5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\sqrt{10}, - \sqrt{10}$ です。

$\sqrt{10}, - \sqrt{10}$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{10}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{10}) \cup (- \sqrt{10}, 0) \cup (0, \sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, - \sqrt{10})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 4.1622777$ で置換えます。

$f' (- 4.1622777) = - \frac{10}{{(- 4.1622777)}^{2}} + 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 4.1622777$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4.1622777) = - \frac{10}{17.32455565} + 1$

ステップ 7.2.1.2

$10$ を $17.32455565$ で割ります。

$f' (- 4.1622777) = - 1 \cdot 0.57721538 + 1$

ステップ 7.2.1.3

$- 1$ に $0.57721538$ をかけます。

$f' (- 4.1622777) = - 0.57721538 + 1$

ステップ 7.2.2

$- 0.57721538$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 4.1622777) = 0.42278461$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.42278461$ です。

$0.42278461$

ステップ 7.3

$x = - 4.1622777$ で微分係数は $0.42278461$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \sqrt{10})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{10})$ で増加

ステップ 8

区間 $(- 3.1622777, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 1.58113885$ で置換えます。

$f' (- 1.58113885) = - \frac{10}{{(- 1.58113885)}^{2}} + 1$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 1.58113885$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.58113885) = - \frac{10}{2.50000006} + 1$

ステップ 8.2.1.2

$10$ を $2.50000006$ で割ります。

$f' (- 1.58113885) = - 1 \cdot 3.99999989 + 1$

ステップ 8.2.1.3

$- 1$ に $3.99999989$ をかけます。

$f' (- 1.58113885) = - 3.99999989 + 1$

ステップ 8.2.2

$- 3.99999989$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 1.58113885) = - 2.99999989$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 2.99999989$ です。

$- 2.99999989$

ステップ 8.3

$x = - 1.58113885$ で微分係数は $- 2.99999989$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3.1622777, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \sqrt{10}, 0)$ で減少

ステップ 9

区間 $(0, \sqrt{10})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1.58113885$ で置換えます。

$f' (1.58113885) = - \frac{10}{{(1.58113885)}^{2}} + 1$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$1.58113885$ を $2$ 乗します。

$f' (1.58113885) = - \frac{10}{2.50000006} + 1$

ステップ 9.2.1.2

$10$ を $2.50000006$ で割ります。

$f' (1.58113885) = - 1 \cdot 3.99999989 + 1$

ステップ 9.2.1.3

$- 1$ に $3.99999989$ をかけます。

$f' (1.58113885) = - 3.99999989 + 1$

ステップ 9.2.2

$- 3.99999989$ と $1$ をたし算します。

$f' (1.58113885) = - 2.99999989$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $- 2.99999989$ です。

$- 2.99999989$

ステップ 9.3

$x = 1.58113885$ で微分係数は $- 2.99999989$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \sqrt{10})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \sqrt{10})$ で減少

ステップ 10

区間 $(\sqrt{10}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $4.1622777$ で置換えます。

$f' (4.1622777) = - \frac{10}{{(4.1622777)}^{2}} + 1$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$4.1622777$ を $2$ 乗します。

$f' (4.1622777) = - \frac{10}{17.32455565} + 1$

ステップ 10.2.1.2

$10$ を $17.32455565$ で割ります。

$f' (4.1622777) = - 1 \cdot 0.57721538 + 1$

ステップ 10.2.1.3

$- 1$ に $0.57721538$ をかけます。

$f' (4.1622777) = - 0.57721538 + 1$

ステップ 10.2.2

$- 0.57721538$ と $1$ をたし算します。

$f' (4.1622777) = 0.42278461$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $0.42278461$ です。

$0.42278461$

ステップ 10.3

$x = 4.1622777$ で微分係数は $0.42278461$ です。これは正の値なので、関数は $(\sqrt{10}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\sqrt{10}, \infty)$ で増加

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \sqrt{10}), (\sqrt{10}, \infty)$ で増加

$(- \sqrt{10}, 0), (0, \sqrt{10})$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例