微分積分例

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 1.1.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $2 x \ln (x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.6.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.6.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

ステップ 1.1.2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 \ln (x) + 3$ です。

$2 \ln (x) + 3$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \ln (x) + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \ln (x) + 3 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 \ln (x) = - 3$

ステップ 1.2.3

$2 \ln (x) = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2 \ln (x) = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

ステップ 1.2.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 1.2.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

ステップ 1.2.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{3}{2}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 1.2.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0.11$ で置換えます。

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (0.11)$ を簡約します。

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

ステップ 4.2.1.2

$0.11$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $\ln (0.0121) + 3$ です。

$\ln (0.0121) + 3$

ステップ 4.3

$f'' (0.11)$ が負なので、区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3)$ を簡約します。

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

ステップ 5.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $\ln (9) + 3$ です。

$\ln (9) + 3$

ステップ 5.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例