微分積分例

$f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x^{2} - 4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 4})$

ステップ 1.1.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$f' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$f' (x) = 4 (- {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = - 4 ({(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

ステップ 1.1.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

ステップ 1.1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{8}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.1.5.3

$x$ と $\frac{8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5.4

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.3

${(x^{2} - 4)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2} - 4$ を ${(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.2.1

$x^{2} - 4$ を ${(x^{2} - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2.2

$x^{2} - 4$ を $- 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2.3

$x^{2} - 4$ を $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x^{2} - 4$ を ${(x^{2} - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.7

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - 8 \frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.16

$- 8$ と $\frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(8) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.18.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.18.2.1

$- 3$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.18.2.2

$8$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ です。

$- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$- 24 x^{2} - 32 = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺に $32$ を足します。

$- 24 x^{2} = 32$

ステップ 1.2.3.2

$- 24 x^{2} = 32$ の各項を $- 24$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 24 x^{2} = 32$ の各項を $- 24$ で割ります。

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{32}{- 24}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$- 24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{32}{- 24}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{32}{- 24}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1

$32$ と $- 24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1.1

$8$ を $32$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{8 (4)}{- 24}$

ステップ 1.2.3.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1.2.1

$8$ を $- 24$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{8 \cdot 4}{8 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{8 \cdot 4}{8 \cdot - 3}$

ステップ 1.2.3.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

ステップ 1.2.3.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.3.4

$\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1

$- \frac{4}{3}$ を $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.3.4.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

ステップ 1.2.3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

ステップ 1.2.3.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.3.4.4

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.3.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.3.4.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.3.4.6

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 1.2.3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.7.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.3.4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.3.4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 1.2.3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 1.2.3.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.3.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 1.2.3.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.3.4.8

$i$ と $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 1.2.3.4.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2

$f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{4}{x^{2} - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.2.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2, - 2}$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2, - 2}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 24 {(- 4)}^{2} - 32}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 24 \cdot 16 - 32}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 24$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 384 - 32}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 384$ から $32$ を引きます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{{(16 - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

$16$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{12^{3}}$

ステップ 4.2.2.3

$12$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{1728}$

ステップ 4.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 416$ と $1728$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$32$ を $- 416$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = - \frac{32 (- 13)}{1728}$

ステップ 4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.1

$32$ を $1728$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

ステップ 4.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

ステップ 4.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 13}{54}$

ステップ 4.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = \frac{13}{54}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $\frac{13}{54}$ です。

$\frac{13}{54}$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 2)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 2, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{- 24 {(0)}^{2} - 32}{{({(0)}^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{- 24 \cdot 0 - 32}{{(0^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 24$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{0 - 32}{{(0^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ から $32$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{- 32}{{(0^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{- 32}{{(0 - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{- 32}{{(- 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{- 32}{- 64}$

ステップ 5.2.3

$- 32$ と $- 64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 32$ を $- 32$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{- 32 \cdot 1}{- 64}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$- 32$ を $- 64$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{- 32 \cdot 1}{- 32 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{- 32 \cdot 1}{- 32 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 2, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 2)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = - \frac{- 24 {(4)}^{2} - 32}{{({(4)}^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = - \frac{- 24 \cdot 16 - 32}{{(4^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 24$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = - \frac{- 384 - 32}{{(4^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 384$ から $32$ を引きます。

$f'' (4) = - \frac{- 416}{{(4^{2} - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = - \frac{- 416}{{(16 - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$16$ から $4$ を引きます。

$f'' (4) = - \frac{- 416}{12^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$12$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = - \frac{- 416}{1728}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 416$ と $1728$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$32$ を $- 416$ で因数分解します。

$f'' (4) = - \frac{32 (- 13)}{1728}$

ステップ 6.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.2.1

$32$ を $1728$ で因数分解します。

$f'' (4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

ステップ 6.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (4) = - \frac{- 13}{54}$

ステップ 6.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (4) = \frac{13}{54}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{13}{54}$ です。

$\frac{13}{54}$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 2)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例