微分積分例

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 5 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.3

$4$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{2}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $- 15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $60 x^{3} - 30 x$ です。

$60 x^{3} - 30 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $60 x^{3} - 30 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$60 x^{3} - 30 x = 0$

ステップ 1.2.2

$30 x$ を $60 x^{3} - 30 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$30 x$ を $60 x^{3}$ で因数分解します。

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$30 x$ を $- 30 x$ で因数分解します。

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$30 x$ を $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ で因数分解します。

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$2 x^{2} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$2 x^{2} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x^{2} = 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$2 x^{2} = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$2 x^{2} = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.2.5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.6

最終解は $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = 60 {(- 3)}^{3} - 30 \cdot - 3$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = 60 \cdot - 27 - 30 \cdot - 3$

ステップ 4.2.1.2

$60$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 1620 - 30 \cdot - 3$

ステップ 4.2.1.3

$- 30$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 1620 + 90$

ステップ 4.2.2

$- 1620$ と $90$ をたし算します。

$f'' (- 3) = - 1530$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 1530$ です。

$- 1530$

ステップ 4.3

$f'' (- 3)$ が負なので、区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.35$ で置換えます。

$f'' (- 0.35) = 60 {(- 0.35)}^{3} - 30 \cdot - 0.35$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 0.35$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.35) = 60 \cdot - 0.042875 - 30 \cdot - 0.35$

ステップ 5.2.1.2

$60$ に $- 0.042875$ をかけます。

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 - 30 \cdot - 0.35$

ステップ 5.2.1.3

$- 30$ に $- 0.35$ をかけます。

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 + 10.5$

ステップ 5.2.2

$- 2.5725$ と $10.5$ をたし算します。

$f'' (- 0.35) = 7.9275$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $7.9275$ です。

$7.9275$

ステップ 5.3

$f'' (- 0.35)$ が正なので、区間 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.35$ で置換えます。

$f'' (0.35) = 60 {(0.35)}^{3} - 30 \cdot 0.35$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.35$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.35) = 60 \cdot 0.042875 - 30 \cdot 0.35$

ステップ 6.2.1.2

$60$ に $0.042875$ をかけます。

$f'' (0.35) = 2.5725 - 30 \cdot 0.35$

ステップ 6.2.1.3

$- 30$ に $0.35$ をかけます。

$f'' (0.35) = 2.5725 - 10.5$

ステップ 6.2.2

$2.5725$ から $10.5$ を引きます。

$f'' (0.35) = - 7.9275$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 7.9275$ です。

$- 7.9275$

ステップ 6.3

$f'' (0.35)$ が負なので、区間 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 60 {(3)}^{3} - 30 \cdot 3$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = 60 \cdot 27 - 30 \cdot 3$

ステップ 7.2.1.2

$60$ に $27$ をかけます。

$f'' (3) = 1620 - 30 \cdot 3$

ステップ 7.2.1.3

$- 30$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = 1620 - 90$

ステップ 7.2.2

$1620$ から $90$ を引きます。

$f'' (3) = 1530$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1530$ です。

$1530$

ステップ 7.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例