微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{3}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

ステップ 1.1.1.4.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} - 96 x + 36$ です。

$36 x^{2} - 96 x + 36$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

ステップ 1.2.2

$12$ を $36 x^{2} - 96 x + 36$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$12$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

ステップ 1.2.2.2

$12$ を $- 96 x$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$12$ を $36$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

ステップ 1.2.2.4

$12$ を $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

ステップ 1.2.2.5

$12$ を $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$3 x^{2} - 8 x + 3$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $12$ で割ります。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.5

$a = 3$ 、 $b = - 8$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6

簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.6.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 1.2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.7.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 1.2.7.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 1.2.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

ステップ 1.2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 1.2.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.8.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 1.2.8.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 1.2.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 1.2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 + 36$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 96 \cdot 0 + 36$

ステップ 4.2.1.2

$36$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 96 \cdot 0 + 36$

ステップ 4.2.1.3

$- 96$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 36$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$f'' (0) = 36$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $36$ です。

$36$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = 36 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 36$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = 36 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 36$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 36 - 96 \cdot 1 + 36$

ステップ 5.2.1.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 36 - 96 + 36$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$36$ から $96$ を引きます。

$f'' (1) = - 60 + 36$

ステップ 5.2.2.2

$- 60$ と $36$ をたし算します。

$f'' (1) = - 24$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 24$ です。

$- 24$

ステップ 5.3

$f'' (1)$ が負なので、区間 $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f'' (5) = 36 {(5)}^{2} - 96 \cdot 5 + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f'' (5) = 36 \cdot 25 - 96 \cdot 5 + 36$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $25$ をかけます。

$f'' (5) = 900 - 96 \cdot 5 + 36$

ステップ 6.2.1.3

$- 96$ に $5$ をかけます。

$f'' (5) = 900 - 480 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$900$ から $480$ を引きます。

$f'' (5) = 420 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$420$ と $36$ をたし算します。

$f'' (5) = 456$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $456$ です。

$456$

ステップ 6.3

$f'' (5)$ が正なので、区間 $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例