微分積分例

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 8 x + 41$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

ステップ 1.1.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 8 x + 41$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 8 x + 41$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

ステップ 1.1.1.2.6

$41$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $41$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

ステップ 1.1.1.2.7

$2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

ステップ 1.1.1.3.2

$2 x - 8$ に $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ を $2 x - 8$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.3.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

ステップ 1.1.1.3.3.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

ステップ 1.1.1.3.3.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.4.2

$x^{2} - 8 x + 41$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.5

総和則では、 $x^{2} - 8 x + 41$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.7

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.9

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.10

$41$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $41$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.11

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.3.11.1

$2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3.11.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.2

$2$ に $41$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 4) (2 x - 8)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.5

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.1.6

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.5.2

$8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.3.1.7.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.7.2

$16$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.1.7.3

$2$ に $- 32$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.2

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.3

$- 16 x$ と $32 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3.4

$82$ から $64$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.1

$2$ を $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.1.2

$2$ を $16 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.1.3

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.1.4

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.1.5

$2$ を $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.2.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2.1.2

$8$ を $- 1$ プラス $9$ に書き換える

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.8

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.10

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3.3

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 9$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

ステップ 2.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2.3

$a = 1$ 、 $b = - 8$ 、および $c = 41$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.2.2

$- 4$ に $41$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.3

$64$ から $164$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.4

$- 100$ を $- 1 (100)$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.7

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

ステップ 2.2.4.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ を簡約します。

$x = 4 \pm 5 i$

ステップ 2.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.2.2

$- 4$ に $41$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.3

$64$ から $164$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.4

$- 100$ を $- 1 (100)$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.7

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

ステップ 2.2.5.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ を簡約します。

$x = 4 \pm 5 i$

ステップ 2.2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 4 + 5 i$

ステップ 2.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.2.2

$- 4$ に $41$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.3

$64$ から $164$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.4

$- 100$ を $- 1 (100)$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.7

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

ステップ 2.2.6.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ を簡約します。

$x = 4 \pm 5 i$

ステップ 2.2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 4 - 5 i$

ステップ 2.2.7

首位係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$x^{2}$

ステップ 2.2.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$1$

ステップ 2.2.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $x^{2} - 8 x + 41$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 2.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 4$ から $9$ を引きます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$16$ と $32$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.4

$48$ と $41$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

ステップ 4.2.2.5

$89$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

ステップ 4.2.3

$- 6$ に $- 13$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $- \frac{78}{7921}$ です。

$- \frac{78}{7921}$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 1)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 1, 9)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ から $9$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 8$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.4

$0$ と $41$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

ステップ 5.2.2.5

$41$ を $2$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{18}{1681}$ です。

$\frac{18}{1681}$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 1, 9)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, 9)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(9, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $12$ で置換えます。

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$12$ と $1$ をたし算します。

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $13$ をかけます。

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$12$ から $9$ を引きます。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$12$ を $2$ 乗します。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 8$ に $12$ をかけます。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$144$ から $96$ を引きます。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$48$ と $41$ をたし算します。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$89$ を $2$ 乗します。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

ステップ 6.2.3

$26$ に $3$ をかけます。

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{78}{7921}$ です。

$- \frac{78}{7921}$

ステップ 6.3

$f'' (12)$ が負なので、区間 $(9, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(9, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, 9)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(9, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例