微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - 12$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$2$ を $x - 4$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.3

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 8$ です。

$- 6, - 2$

ステップ 1.1.1.3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = (x - 6) (x - 2)$ および $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x - 6$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2

$x - 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.7

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + x - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 6 - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8.4

$- 6$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x - 4$ を ${(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$x - 4$ を ${(x - 4)}^{2} (2 x - 8)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$x - 4$ を $- 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2.3

$x - 4$ を $(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 4]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$x - 4$ を ${(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.10

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) \cdot 1}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.11.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (2 x - 8)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 8) - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.3

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.5

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.2

$- 8 x$ から $8 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.3

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x + 12) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x + 12) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x (x - 2) + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.3

$12$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.2

$4 x$ と $12 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2

$2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 0 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2.2

$- 16 x + 32$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2.3

$- 16 x$ と $16 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0 + 32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2.4

$0$ と $32$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.3

$32$ から $24$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$ です。

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 = 0$

ステップ 1.2.3

$8 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 4}$

区間記号：

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 4}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$0$ から $4$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{8}{- 64}$

ステップ 4.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$8$ と $- 64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{8 (1)}{- 64}$

ステップ 4.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$8$ を $- 64$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

ステップ 4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

ステップ 4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{1}{- 8}$

ステップ 4.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{8}$ です。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 4)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = \frac{8}{{((6) - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$6$ から $4$ を引きます。

$f'' (6) = \frac{8}{2^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{8}{8}$

ステップ 5.2.2

$8$ を $8$ で割ります。

$f'' (6) = 1$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 5.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例