微分積分例

$f (x) = (x - 8) (x^{2} - 16 x - 128)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x - 8$ および $g (x) = x^{2} - 16 x - 128$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16 x - 128) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 16 x - 128$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ です。

$f' (x) = (x - 8) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.6

$- 128$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 128$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 + 0) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.7

$2 x - 16$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

ステップ 1.1.1.2.8

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 1.1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 1.1.1.2.10

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.2.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.11.2

$x^{2} - 16 x - 128$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x - 8) (2 x) + (x - 8) \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 8 (2 x) + (x - 8) \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x (2 x) - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{2} - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.5

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 16 x + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.6

$- 16$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 16 x - 16 \cdot x - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.7

$- 8$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 16 x - 16 x + 128 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.8

$- 16 x$ から $16 x$ を引きます。

$f' (x) = 2 x^{2} - 32 x + 128 + x^{2} - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 128 - 16 x - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.10

$- 32 x$ から $16 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 48 x + 128 - 128$

ステップ 1.1.1.3.4.11

$128$ から $128$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 48 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.4.12

$3 x^{2} - 48 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 48 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 48 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 48 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 48 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 48$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 48$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 48$ です。

$6 x - 48$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 48 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 48 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $48$ を足します。

$6 x = 48$

ステップ 1.2.3

$6 x = 48$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$6 x = 48$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{48}{6}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{48}{6}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{48}{6}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$48$ を $6$ で割ります。

$x = 8$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 8)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 6 (0) - 48$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$6$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 48$

ステップ 4.2.2

$0$ から $48$ を引きます。

$f'' (0) = - 48$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 48$ です。

$- 48$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 8)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 8)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(8, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f'' (10) = 6 (10) - 48$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $10$ をかけます。

$f'' (10) = 60 - 48$

ステップ 5.2.2

$60$ から $48$ を引きます。

$f'' (10) = 12$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 5.3

$f'' (10)$ が正なので、区間 $(8, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(8, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 8)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(8, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例