微分積分例

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{6}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = \frac{6}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.3

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.5.2

$6$ から $7$ を引きます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.6.2

$\frac{6}{7}$ と ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{6 {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.1.7

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 1.1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 1.1.1.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.10.2

$\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$\frac{6}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ の微分係数は $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 1.1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ を ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

ステップ 1.1.2.1.2.2

${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot - 1})$

ステップ 1.1.2.1.2.2.2

$\frac{1}{7}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}})$

ステップ 1.1.2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{- \frac{1}{7}})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{7}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - \frac{1}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} u^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.6.2

$- 1$ から $7$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.7.2

${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

ステップ 1.1.2.7.4

$\frac{6}{7}$ に $\frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{6}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.2.7.5

$7$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 1.1.2.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ です。

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 1.2.3

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt[7]{{(x + 4)}^{6}}$

ステップ 2.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が負なので、グラフは下に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例