微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

ステップ 1

両側極限を右側極限に変えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

ステップ 2.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x^{2} + 2 x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

ステップ 2.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{- \infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 2 x$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

$\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.2

$x$ を $x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.8.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.2.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.3

$2 x + 2$ に $\frac{1}{x (x + 2)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.4

$2$ を $2 x + 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.8.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.4.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.8.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 2.3.9

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

ステップ 2.5

$\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

ステップ 2.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

ステップ 3.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{1}{0 + 2}$

ステップ 5.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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