微分積分例

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

ステップ 1

両側極限を右側極限に変えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

ステップ 2

$x^{3} \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は無限大に近づきます。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

ステップ 3.3.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

ステップ 3.3.4

簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

ステップ 3.3.4.2

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

ステップ 3.3.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x^{4}}{3}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

ステップ 3.6

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$x$ を $x \cdot 3$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

ステップ 4.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

ステップ 6.2

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{3})$

ステップ 6.2.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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