微分積分例

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 1

$y = x^{4} - 4 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

ステップ 2.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 12 x^{2}$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$4 x^{2}$ を $4 x^{3} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$4 x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

ステップ 3.2.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.6

最終解は $4 x^{2} (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 3$ です。

$0, 3$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 4 - 12$

ステップ 6.2.2

$- 4$ から $12$ を引きます。

$f' (- 1) = - 16$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 16$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

ステップ 7.2.1.8

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.8.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

ステップ 7.2.1.8.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

ステップ 7.2.1.8.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.9

$- 3$ に $9$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

ステップ 7.2.2

$- 27$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.2.3

$- 27$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$- 27$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

ステップ 7.2.5.2

$27$ から $54$ を引きます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

ステップ 7.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

ステップ 7.2.7

最終的な答えは $- \frac{27}{2}$ です。

$- \frac{27}{2}$

ステップ 7.3

$x = \frac{3}{2}$ で微分係数は $- \frac{27}{2}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 3)$ で減少

ステップ 8

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

指数を足して $4$ に ${(4)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1.1.1

$4$ に ${(4)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 8.2.1.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

ステップ 8.2.1.4

$- 12$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 256 - 192$

ステップ 8.2.2

$256$ から $192$ を引きます。

$f' (4) = 64$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $64$ です。

$64$

ステップ 8.3

$x = 4$ で微分係数は $64$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(3, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0), (0, 3)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例