微分積分例

$y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 1

$y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $3 x^{4} + 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} + 12 x^{2}$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$12 x^{2}$ を $12 x^{3} + 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$12 x^{2}$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$12 x^{2}$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1) = 0$

ステップ 3.2.3

$12 x^{2}$ を $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1)$ で因数分解します。

$12 x^{2} (x + 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.6

最終解は $12 x^{2} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 1$ です。

$0, - 1$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 96 + 12 {(- 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 96 + 12 \cdot 4$

ステップ 6.2.1.4

$12$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 96 + 48$

ステップ 6.2.2

$- 96$ と $48$ をたし算します。

$f' (- 2) = - 48$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 48$ です。

$- 48$

ステップ 6.3

$x = - 2$ で微分係数は $- 48$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5.5

式を書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6

$3$ と $\frac{- 1}{2}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 7.2.1.9.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

ステップ 7.2.1.9.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 7.2.1.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 7.2.1.11

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

ステップ 7.2.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{2^{2}})$

ステップ 7.2.1.13

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{4})$

ステップ 7.2.1.14

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.14.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 (3) (\frac{1}{4})$

ステップ 7.2.1.14.2

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4}))$

ステップ 7.2.1.14.3

式を書き換えます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3$

ステップ 7.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6}{2}$

ステップ 7.2.5.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $\frac{3}{2}$ です。

$\frac{3}{2}$

ステップ 7.3

$x = - \frac{1}{2}$ で微分係数は $\frac{3}{2}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 12 + 12 {(1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 12 + 12 \cdot 1$

ステップ 8.2.1.4

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 12 + 12$

ステップ 8.2.2

$12$ と $12$ をたし算します。

$f' (1) = 24$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $24$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, 0), (0, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例