微分積分例

${(x^{2} + 1)}^{8}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$16 {(x^{2} + 1)}^{7} x$

ステップ 1.2.4.3

$16 {(x^{2} + 1)}^{7} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 16 x {(x^{2} + 1)}^{7}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x {(x^{2} + 1)}^{7}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{7}]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{7}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$16 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{7}] + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$16 (x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.4.2

$2$ に $7$ をかけます。

$16 (x (14 {(x^{2} + 1)}^{6} x) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$16 (x^{1} x (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$16 (x^{1} x^{1} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 (x^{1 + 1} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \cdot 1)$

ステップ 2.10

${(x^{2} + 1)}^{7}$ に $1$ をかけます。

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7})$

ステップ 2.11

簡約します。

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ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6})) + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$

ステップ 2.11.2

$14$ に $16$ をかけます。

$224 (x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{6})) + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$

ステップ 2.11.3

$16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ を $224 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 2.11.3.1

$16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ を $224 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6}$ で因数分解します。

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2}) + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$

ステップ 2.11.3.2

$16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ を $16 {(x^{2} + 1)}^{7}$ で因数分解します。

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2}) + 16 {(x^{2} + 1)}^{6} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.11.3.3

$16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ を $16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2}) + 16 {(x^{2} + 1)}^{6} (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2} + x^{2} + 1)$

ステップ 2.11.4

$14 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 16 {(x^{2} + 1)}^{6} (15 x^{2} + 1)$

微分積分 例

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