微分積分例

${(x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (x^{2} + 1) x$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

ステップ 1.3.3

項をまとめます。

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ステップ 1.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

ステップ 1.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

ステップ 1.3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

ステップ 1.3.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$

微分積分 例

微分積分例