微分積分例

$\frac{1}{1 + t}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{1 + t}$ を ${(1 + t)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (t) = \frac{d}{d t} ({(1 + t)}^{- 1})$

ステップ 1.2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 1 + t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + t$ とします。

$f' (t) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (1 + t)$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = - u^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + t$ で置き換えます。

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $1 + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.3.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [t]$ をたし算します。

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} t$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2}$

ステップ 1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (t) = - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (t) = - 1$ および $g (t) = \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ を ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {({(1 + t)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.2.2

${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{- 2} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3

$f (t) = t^{- 2}$ および $g (t) = 1 + t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + t$ とします。

$f'' (t) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $1 + t$ で置き換えます。

$f'' (t) = - (- 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (t) = 2 ({(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.2

総和則では、 $1 + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [t]$ をたし算します。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.6

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.7

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.4.8

式を簡約します。

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ステップ 2.4.8.1

$\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + 0$

ステップ 2.4.8.2

$2 {(1 + t)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (t) = 2 (\frac{1}{{(1 + t)}^{3}})$

ステップ 2.5.2

$2$ と $\frac{1}{{(1 + t)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (t) = \frac{2}{{(1 + t)}^{3}}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例