微分積分例

${(1 - x)}^{- 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.1.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 1.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(1 - x)}^{- 3}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 1.3.2

$2$ と $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ を ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 3}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$2 (- 3 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- 6 ({(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(1 - x)}^{- 4} \cdot 1$

ステップ 2.3.8

$6$ に $1$ をかけます。

$6 {(1 - x)}^{- 4}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 \frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$6$ と $\frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{6}{{(1 - x)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{6}{{(- x + 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例