微分積分例

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{17}{x^{2} + 12}$ の微分係数は $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ です。

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x^{2} + 12}$ を ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ に書き換えます。

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 12$ とします。

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 12$ で置き換えます。

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $17$ をかけます。

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 1.3.4

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $- 17$ をかけます。

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 34$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.3

$x$ と $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.4

$34$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 34$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ の微分係数は $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ です。

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.3.3

${(x^{2} + 12)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 12$ とします。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 12$ で置き換えます。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

$x^{2} + 12$ を ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.2.1

$x^{2} + 12$ を ${(x^{2} + 12)}^{2}$ で因数分解します。

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.5.2.2

$x^{2} + 12$ を $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ で因数分解します。

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.5.2.3

$x^{2} + 12$ を $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ で因数分解します。

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

ステップ 2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$x^{2} + 12$ を ${(x^{2} + 12)}^{4}$ で因数分解します。

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $x^{2} + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.9

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.16

$- 34$ と $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.18

簡約します。

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ステップ 2.18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.18.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.18.2.1

$- 3$ に $34$ をかけます。

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.2

$34$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

微分積分 例

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