微分積分例

$4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{5}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.6.2

$5$ から $3$ を引きます。

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.7.1

$\frac{5}{3}$ と ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$4 (\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 1.7.2

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.7.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

ステップ 1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

ステップ 1.11.2

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{20}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ の微分係数は $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$ です。

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.7.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{20}{3} (\frac{2 {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.7.4

$\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{20}{3}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 20}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.7.5

掛け算します。

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ステップ 2.7.5.1

$2$ に $20$ をかけます。

$\frac{40}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.7.5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 2.11

式を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

ステップ 2.11.2

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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