微分積分例

$12 - \frac{192}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $12 - \frac{192}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 192$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{192}{x^{2}}$ の微分係数は $- 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$0 - 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 - 192 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$0 - 192 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - 192 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 - 192 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 192 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$0 - 192 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - 192 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$0 - 192 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.2.10

$- 2$ に $- 192$ をかけます。

$0 + 384 x^{- 3}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + 384 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$384$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$0 + \frac{384}{x^{3}}$

ステップ 1.3.2.2

$0$ と $\frac{384}{x^{3}}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{384}{x^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$384$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{384}{x^{3}}$ の微分係数は $384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$384 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$384 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$384 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 2.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$384 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 2.4

$- 3$ に $384$ をかけます。

$- 1152 x^{- 4}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 1152 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 1152$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 1152}{x^{4}}$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1152}{x^{4}}$

微分積分 例

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