微分積分例

$x e^{- x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x e^{- x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.2

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.3

$- e^{- x}$ から $e^{- x}$ を引きます。

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.4

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.7

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.8

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{- x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

ステップ 3.3.8

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{- x}$ と $2 e^{- x}$ をたし算します。

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

ステップ 3.4.3

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = - x e^{- x} + 3 e^{- x}$

微分積分 例

微分積分例