微分積分例

$x^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

ステップ 1.1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.5.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 1.6.2

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = e^{x \ln (x)}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x \ln (x)$ とします。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.4

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.7

$e^{x \ln (x)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.8

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.9

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.10

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.11

$\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x \ln (x)$ とします。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 2.3.2

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 2.3.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 2.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 2.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 2.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 2.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 2.4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.2

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + {\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.6

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.7

$e^{x \ln (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 2.4.5.9

$e^{x \ln (x)} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 2.4.5.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 2.4.5.11

$e^{x \ln (x)}$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{e^{x \ln (x)} + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

ステップ 2.4.5.12

$x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ と $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ をたし算します。

$\frac{e^{x \ln (x)} + 2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

ステップ 2.4.6

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$

ステップ 2.4.7

$\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x) + x e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)}}{x}$

微分積分 例

微分積分例