微分積分例

$x^{2} \ln (3 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{3 x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$3$ と $\frac{x}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + \ln (3 x) (2 x)$

ステップ 1.3.8

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x \ln (3 x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (3 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{3 x}$ と $3$ をまとめます。

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.9

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

共通因数を約分します。

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.9.2

式を書き換えます。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.10

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.11

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.11.2

式を書き換えます。

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.12

$\ln (3 x)$ に $1$ をかけます。

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

ステップ 2.4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$

微分積分 例

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