微分積分例

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = 4$ , $x = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = 4$ および $g (x) = 4 \sqrt{x}$ ならば $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$V = 16 - {(4 \sqrt{x})}^{2}$

ステップ 2.2

積の法則を $4 \sqrt{x}$ に当てはめます。

$V = 16 - (4^{2} {\sqrt{x}}^{2})$

ステップ 2.3

$4$ を $2$ 乗します。

$V = 16 - (16 {\sqrt{x}}^{2})$

ステップ 2.4

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$V = 16 - (16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

ステップ 2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 16 - (16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

ステップ 2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.4.1

共通因数を約分します。

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

ステップ 2.4.4.2

式を書き換えます。

$V = 16 - (16 x)$

ステップ 2.4.5

簡約します。

$V = 16 - (16 x)$

ステップ 2.5

$16$ に $- 1$ をかけます。

$V = 16 - 16 x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

ステップ 5

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $- 16$ を積分の外に移動させます。

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ および $0$ で $16 x$ の値を求めます。

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

ステップ 7.2.2

$1$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$16$ に $1$ をかけます。

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 7.2.3.2

$- 16$ に $0$ をかけます。

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 7.2.3.3

$16$ と $0$ をたし算します。

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 7.2.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 7.2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

ステップ 7.2.3.6

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.6.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

ステップ 7.2.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

ステップ 7.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

ステップ 7.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

ステップ 7.2.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - 0))$

ステップ 7.2.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} + 0))$

ステップ 7.2.3.8

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2}))$

ステップ 7.2.3.9

$- 16$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$V = π (16 + \frac{- 16}{2})$

ステップ 7.2.3.10

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.10.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2})$

ステップ 7.2.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)})$

ステップ 7.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1})$

ステップ 7.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$V = π (16 + \frac{- 8}{1})$

ステップ 7.2.3.10.2.4

$- 8$ を $1$ で割ります。

$V = π (16 - 8)$

ステップ 7.2.3.11

$16$ から $8$ を引きます。

$V = π \cdot 8$

ステップ 7.2.3.12

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 8 π$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = 8 π$

10進法形式：

$V = 25.13274122 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例