微分積分例

$y = \arcsin (6 x + 1)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (6 x + 1))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 6 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $6 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + 0)$

ステップ 3.2.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.6.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \cdot 6$

ステップ 3.2.6.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

微分積分 例

微分積分例