微分積分例

$y = \arcsin (6 x^{5})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (6 x^{5}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 6 x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x^{5}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $6 x^{5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$6$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

積の法則を $6 (x^{5})$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (6^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (36 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2.2.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (36 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2.2.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (36 x^{10})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2.2.4

$36$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

ステップ 3.2.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3.2.4

$6$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$ をまとめます。

$\frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} (5 x^{4})$

ステップ 3.2.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.6.1

$5$ と $\frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} x^{4}$

ステップ 3.2.6.2

$5$ に $6$ をかけます。

$\frac{30}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} x^{4}$

ステップ 3.2.6.3

$\frac{30}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{30 x^{4}}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{30 x^{4}}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{30 x^{4}}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$

微分積分 例

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