微分積分例

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7 x^{2} - 1}$ を ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3

簡約します。

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.4

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.4.2

$7 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 7 x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $7 x^{2} - 1$ とします。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $7 x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.9

分子を簡約します。

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ステップ 4.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.10

分数をまとめます。

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ステップ 4.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

ステップ 4.10.4

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{7 x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

ステップ 4.10.5

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

ステップ 4.11

総和則では、 $7 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.12

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.14

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.15

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

ステップ 4.16

項を簡約します。

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ステップ 4.16.1

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

ステップ 4.16.2

$14$ と $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

ステップ 4.16.3

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 4.16.4

共通因数を約分します。

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 4.16.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 4.17

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 4.18

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 4.19

共通因数を約分します。

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ステップ 4.19.1

$x$ を ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

ステップ 4.19.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

ステップ 4.19.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 4.20

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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