微分積分例

$y = x \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \sin (x) + \cos (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x \sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$\sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$x \cos (x) + 0$

ステップ 3.4.2

$x \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$x \cos (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x \cos (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x)$

微分積分 例

微分積分例