微分積分例

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | \sec (x) + \tan (x) |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| \sec (x) + \tan (x) |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| \sec (x) + \tan (x) |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

ステップ 3.2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x) + \tan (x)$ とします。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x) + \tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

ステップ 3.3

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ に $\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ をかけます。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.5

$\sec (x) + \tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.6

$\sec (x) + \tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.8

和の法則を使って微分します。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.8.2

総和則では、 $\sec (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.9

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.10

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ の因数を並べ替えます。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |}$

ステップ 3.11.2

絶対値から非負の項を削除します。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3

$\sec (x) + \tan (x)$ と ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.3.1

$1$ を掛けます。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.3.2.1

$\sec (x) + \tan (x)$ を ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ で因数分解します。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

ステップ 3.11.3.2.2

共通因数を約分します。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

ステップ 3.11.3.2.3

式を書き換えます。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.4

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.5

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.11.5.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\sec (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.5.2

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.6

$\sec^{2} (x)$ と $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.8

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.11.8.1

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.8.2

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 3.11.8.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

微分積分 例

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